Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）中，椭圆长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交与A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，求斜率k的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，利用判别式以及韦达定理，结合中点坐标，求解即可．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{\sqrt{3}b=a}\\{\frac{1}{2}×b×2c=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=5}\\{{b^2}=\frac{5}{3}}\end{array}}\right.$，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{{\frac{5}{3}}}=1$．--------（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0．（8分）$△=36{k^4}-4（{1+3{k^2}}）（{3{k^2}-5}）=48{k^2}+20＞0，{x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$．--------------------（10分）
因为AB中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$，所以$-\frac{{3{k^2}}}{{1+3{k^2}}}=-\frac{1}{2}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．---------------------（12分）

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．