Question

5．已知点P是锐角△ABC所在平面内的动点，且满足$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，给出下列四个命题：
①点P的轨迹是一条直线；
②$|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{CA}|$恒成立；
③$|\overrightarrow{CP}|≥|\overrightarrow{CA}|cosC$；
④存在点P使得$|\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{CB}|$．
则其中真命题的序号为（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，得$\overrightarrow{CB}$⊥$\overrightarrow{AP}$，点P的轨迹是CB边的高线所在的直线；
②由$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，得|$\overrightarrow{CP}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，$|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{CA}|$不一定成立；
由cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞≤1，|$\overrightarrow{CP}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，得$|\overrightarrow{CP}|≥|\overrightarrow{CA}|cosC$；
④$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{PB}$时，以PC、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，得|$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{CB}$|正确．

解答 解：对于①，由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，得$\overrightarrow{CB}$•（$\overrightarrow{CP}$-$\overrightarrow{CA}$）=0，
∴$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AP}$=0，∴$\overrightarrow{CB}$⊥$\overrightarrow{AP}$，
∴点P的轨迹是CB边的高线所在的直线，①正确；
对于②，由$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，
得|$\overrightarrow{CP}$|×|$\overrightarrow{CB}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|×|$\overrightarrow{CB}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，
即|$\overrightarrow{CP}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，
∴$|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{CA}|$不一定成立，②错误；
对于③，由cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞≤1，|$\overrightarrow{CP}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，
得$|\overrightarrow{CP}|≥|\overrightarrow{CA}|cosC$，③正确；
对于④，当$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{PB}$时，以PC、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，
因此存在点P使|$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，④正确．
综上，其中真命题的序号为①③④．
故选：D．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的平行四边形法则、矩形的对角线的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，是综合性题目．