Question

已知函数f（x）=2sin（x+

π

6

）cosx-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=

3

2

，∠B=

π

4

，AC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数，化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）通过f（A）=

3

2

，∠B=

π

4

，化简函数的解析式，利用角的范围求出角，分情况求解△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）cosx-

1

2

=

3

sinxcosx+cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ得
x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）
即函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）

（Ⅱ）∵0＜A＜π
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13

6

π，f（A）=sin（2A+

π

6

）=

3

2

∴2A+

π

6

=

π

3

或2A+

π

6

=

2

3

π，
即A=

π

12

或A=

π

4

①当A=

π

12

时，C=

2

3

π，a=2

2

sinA=

6 - 2

4

•2

2

=

3

-1，S_△ABC=

1

2

absinC=

3- 3

2

 
②当A=

π

4

时，C=

π

2

，S_△ABC=

1

2

ab=2

点评：本题考查两角和与差的三角函数二倍角公式的应用，正弦函数的单调增区间的求法，三角形的面积考查计算能力．