Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x≤-3}\\{2x，x＞-3}\end{array}\right.$且f（x₀）=8，则x₀=4，f（x）的值域为（-6，+∞）．

Answer 1

分析 当x₀≤-3时，${{x}_{0}}^{2}+2=8$，当x₀＞-3时，2x₀=8，由此能求出f（x₀）=8时，x₀的值．当x≤-3时，f（x）=x²+2≥11，当x＞-3时，f（x）=2x＞-6．由此能求出f（x）的值域．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x≤-3}\\{2x，x＞-3}\end{array}\right.$，且f（x₀）=8，
∴当x₀≤-3时，${{x}_{0}}^{2}+2=8$，解得${x}_{0}=±\sqrt{6}$，不成立；
当x₀＞-3时，2x₀=8，解得x₀=4，成立．
∴f（x₀）=8时，x₀=4．
当x≤-3时，f（x）=x²+2≥11，
当x＞-3时，f（x）=2x＞-6．
∴f（x）的值域为（-6，+∞）．
故答案为：4，（-6，+∞）．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．