Question

已知函数f（x）=|2-

p

x

|（p为大于0的常数）．
（1）求函数f（x）在[1，4]上的最大值（用常数p表示）；
（2）若p=1，是否存在实数m使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]，如果存在求出实数m的取值范围，如果不存在说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）先对函数的解析式进行分类讨论，去掉绝对值符号，再分类讨论研究函数的最大值，得到本题结论；（2）通过分类研究，由函数的定义域，得到 函数的值域，结合已知条件，求出实数m的取值范围，得到本题结论．

解答： 解：（1）函数f(x)=

p x -2，x≤ p 2 2- p x ，x＞ p 2

，
①当

p

2

＞4时，即p＞8，f（x）的最大值为：f（1）=p-2；
②当1≤

p

2

≤4时，即2≤p≤8，f（1）=p-2，f（4）=2-

p

4

，
  （i）若p≥

16

5

，f（1）＞f（4），f（x）即的最大值为f（1）=p-2；
  （ii）若p＜

16

5

，f（1）＜f（4），f（x）即的最大值为f（4）=2-

p

4

；
③当

p

2

＜1时，即p＜2，f（x）的最大值为f（4）=2-

p

4

；
综上所述：当p≥

16

5

，f（x）即的最大值为p-2，
当p＜

16

5

，f（x）即的最大值为2-

p

4

，
（2）若p=1函数f（x）=|2-

1

x

|，
由a＜b，ma＜mb知m（a-b）＜0，m＞0
又∵ma≥0，
∴a＞0
①当0＜a＜b≤

1

2

时，
由题意得

1 a -2=mb 1 b -2=ma

得

1

a

-

1

b

=m(a-b)，

1

a

=mb
∴

1

a

-2=

1

a

，a无解．
②当a≤

1

2

≤b时，
ma=0与m＞0，a＞0矛盾．
③当

1

2

≤a＜b时，由题意得

2- 1 a =ma 2- 1 b =mb

，
即2-

1

x

=mx（x≥

1

2

）有两个不同的实数解
由2-

1

x

=mx 得：mx²-2x+1=0．
要使得方程有两个不等的实根，令g（x）=mx²-2x+1，
∴函数g（x）应满足

△＞0 g( 1 2 )＞0 1 m ＞ 1 2

，
∴m∈（0，1）．

点评：本题考查了函数的定义域和值域，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题．