Question

9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一周期内，当x=$\frac{π}{4}$时，y取得最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取得最小值-1，则f（x）=（　　）

• A． sin（2x+$\frac{π}{4}$）
• B． sin（2x+$\frac{π}{3}$）
• C． sin（2x-$\frac{π}{4}$）
• D． sin（3x-$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 通过当x=$\frac{π}{4}$时，y取得最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取得最小值-1，求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．

解答 解：∵当x=$\frac{π}{4}$时，y取得最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取得最小值-1，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∴ω=3．----（4分）
∵sin（$\frac{3}{4}$π+φ）=1，
∴$\frac{3}{4}$π+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴可得 φ=-$\frac{π}{4}$，------（6分）
∴函数 f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）．-------（7分）
故选：D．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．