Question

7．椭圆中心在原点，一个焦点F（$\sqrt{2}$，0），且定点P（1，0）到椭圆上各点距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆方程．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得a²-b²=2，设椭圆上任一点M（acosα，bsinα），0≤α＜2π，运用两点的距离公式和同角的平方关系，以及余弦函数的值域，结合二次函数的最值的求法，可得最小值，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2，
设椭圆上任一点M（acosα，bsinα），0≤α＜2π，
|PM|=$\sqrt{（acosα-1）^{2}+{b}^{2}si{n}^{2}α}$
=$\sqrt{2co{s}^{2}α-2acosα+1+{b}^{2}}$，
令cosα=t（-1≤t≤1），
则|PM|=$\sqrt{2{t}^{2}-2at+1+{b}^{2}}$
=$\sqrt{2（t-\frac{a}{2}）^{2}+1+{b}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$，
若$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤2，即有t=$\frac{a}{2}$时，取得最小值，
且为$\sqrt{1+{b}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{{a}^{2}}{2}$-b²=$\frac{1}{2}$，再由a²-b²=2，
解得a²=3，b²=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
若a＞2，即$\frac{a}{2}$＞1，即有t=1时，取得最小值，
且为$\sqrt{3-2a+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即2a-b²=$\frac{5}{2}$，又a²-b²=2，
解得a=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}$=1．
综上可得，椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1
或$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查最值的求法，注意运用换元法和余弦函数的值域以及二次函数的最值的求法，属于中档题．