Question

16．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E为线段CD上的任意一点，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$的最大值为2．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，设CE=x，用x表示出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$，转化成函数的最值问题求解．

解答 解：以CD为x轴，以C为原点建立平面直角坐标系如图，
设CE=x，则0≤x≤2，D（2，0），B（1，$\sqrt{3}$），A（3，$\sqrt{3}$），E（x，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（x-3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（1，-$\sqrt{3}$）．∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=x-3+3=x，
∴当x=2时，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$取得最大值2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，用x表示出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$是解题关键．