Question

数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=

2(n+1)

n

a_n-n-1，
（1）求a₁、a₂、a₃、a₄；
（2）用合情推理猜测a_n-n关于n的表达式（不用证明）；
（3）用合情推理猜测{

an-n

n

}是什么类型的数列并证明；
（4）求{a_n}的前n项的和．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a₁=3，a_n+1=

2(n+1)

n

a_n-n-1，逐项代入可得a₂、a₃、a₄；
（2）根据当n=1时，a_n-n=2=2×1，当n=2时，a_n-n=8=4×2，当n=3时，a_n-n=24=8×3，当n=4时，a_n-n=64=16×4，…归纳可得a_n-n=2ⁿ•n，
（3）由（2）得：

an-n

n

=2ⁿ，故{

an-n

n

}是一个以2为首项，以2为公式等比数列，进而利用数学归纳法，可证得结论；
（4）a_n=2ⁿ•n+n，则S_n=（2•1+1）+（2²•2+2）+（2³•3+3）+…+（2ⁿ•n+n）进而利用分组求和法和错位相减法，可得答案．

解答： 解：（1）∵a₁=3，a_n+1=

2(n+1)

n

a_n-n-1，
当n=1时，a₂=

2(1+1)

1

a1-1-1=10，
当n=2时，a₃=

2(2+1)

2

a2-2-1=27，
当n=3时，a₄=

2(3+1)

3

a3-3-1=68，
（2）由（1）得a_n-n，
当n=1时，a_n-n=2=2×1，
当n=2时，a_n-n=8=4×2，
当n=3时，a_n-n=24=8×3，
当n=4时，a_n-n=64=16×4，
…
归纳可得：a_n-n=2ⁿ•n，
（3）由（2）得：

an-n

n

=2ⁿ，故{

an-n

n

}是一个以2为首项，以2为公式等比数列，
当n=1时，a₁=3，

a1-1

1

=2符合条件；
设n=k时，符合条件，即

ak-k

k

=2^k，则ak=k•2k+k
则n=k+1时，

ak+1-(k+1)

k+1

=

2(k+1) k ak-k-1-(k+1)

k+1

=

2

k

ak-2=

2

k

(k•2k+k)-2=2^k+1也满足条件，
故

an-n

n

=2ⁿ，即{

an-n

n

}是一个以2为首项，以2为公式等比数列，
（4）由（2）得：a_n=2ⁿ•n+n，
则S_n=（2•1+1）+（2²•2+2）+（2³•3+3）+…+（2ⁿ•n+n）
=（2•1+2²•2+2³•3+…+2ⁿ•n）+（1+2+3+…+n）
令T_n=2•1+2²•2+2³•3+…+2ⁿ•n，…①
则2T_n=2²•1+2³•2+…+2ⁿ•（n-1）+2ⁿ⁺¹•n，…②
②-①得：T_n=2ⁿ⁺¹•n-（2+2²+2³+…+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹•n-（2ⁿ⁺¹-2）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=T_n+（1+2+3+…+n）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+

n(n+1)

2

点评：本题考查的知识点是合情推理，数学归纳法，数列求和，综合性强，难度较大．