Question

11．已知a，b∈R，a²+b²=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：|a|+|b|≤1；
（Ⅱ）证明：方程：x²+ax+b=0，两根的绝对值均小于或等于1．

Answer 1

分析 （1）利用（|a|+|b|）²≤2（a²+b²）即可证明．
（2）由（1）中|a|+|b|≤1，自然联想|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，而a、b是方程的系数，欲证根的绝对值小于等于1，由韦达定理，寻找解题途径．

解答 证明：（1）∵a²+b²=$\frac{1}{2}$，
∴（|a|+|b|）²≤2（a²+b²）=1，当且仅当a=b时取等号．
∴|a|+|b|≤1；
（2）设方程的两根为x₁、x₂，由韦达定理得x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
代入|a|+|b|≤1有|x₁+x₂|+|x₁x₂|≤1（*）．
①用|x₁|-|x₂|≤|x₁+x₂|，把（*）式放缩得|x₁|-|x₂|+|x₁x₂|≤1，
∴（|x₁|-1）（|x₂|+1）≤0，∵|x₂|+1＞0，∴|x₁|≤1．
②用|x₂|-|x₁|≤|x₁+x₂|，把（*）式放缩，
同理可得，|x₂|≤1．综合①②有|x₁|≤1，|x₂|≤1．
故方程x²+ax+b=0的两根的绝对值均小于1．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．