Question

1．设向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ）
（]）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直得出数量积为0，列出方程，使用三角函数恒等变换化简；
（2）求出（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）²，利用三角函数的性质得出（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）²的最大值；
（3）根据tanαtanβ=16得出sinαsinβ=16cosαcosβ，故而$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$．

解答 解：（1）$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
若$\overrightarrow{a}⊥$（$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$），则$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}）$=0，即4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0．
∴4cosαsinβ+4sinαcosβ-8cosαcosβ+8sinαsinβ=0，
即sin（α+β）=2cos（α+β），
∴tan（α+β）=2．
（2）$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）²=（sinβ+cosβ）²+（4cosβ-4sinβ）²=17-30sinβcosβ=17-15sin2β．
∴当sin2β=-1时，（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）²取得最大值32．
∴|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的最大值是4$\sqrt{2}$．
（3）∵tanαtanβ=16，∴sinαsinβ=16cosαcosβ．
∴16cosαcosβ-sinαsinβ=0．
∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与向量垂直，平行的关系，三角函数的恒等变换，属于中档题．