Question

已知A（2，0），B，C为圆x²+y²=4上两点，∠BAC=60°．
（1）求B，C中点轨迹方程．
（2）求△ABC重心轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得OD=1，从而得BC中点的轨迹方程．

解答： 解：（1）设BC中点是D，
∵圆心角等于圆周角的一半，
∴∠BOD=60°，
∵BO=CO，
∴OD⊥BC，
在直角三角形BOD中，有OD=

1

2

OB=1，
故中点D的轨迹方程是：x²+y²=1，
如图，由角BAC的极限位置可得，x＜

1

2

，
（2）设B点坐标为（2cost，2sint），C点坐标为（2cos（t+120°，2sin（t+120°）），三角形ABC重心坐标设为
（x，y），
则x=

1

3

（2+2cost+2cos（t+120°）），y=

1

3

（0+2sint+2sin（t+120°）），
3x-2=2cos（t-60°），3y=2cos（t-30°），
因此（3x-2）²+9y²=4，
这就是重心轨迹方程．

点评：本题主要考查求轨迹方程，解决与平面几何有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，这样会使问题的解决简便些．