Question

（2012•九江一模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣x3]=2，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

Answer 1

D

【解析】

试题分析：由题意，可知f（x）﹣x3是定值令t=f（x）﹣x3，得出f（x）=x3+t，再由f（t）=t3+t=2求出t的值即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间选出正确选项

【解析】
由题意，可知f（x）﹣x3是定值，不妨令t=f（x）﹣x3，则f（x）=x3+t

又f（t）=t3+t=2，整理得（t﹣1）（t2+t+2）=0，解得t=1

所以有f（x）=x3+1

所以f（x）﹣f′（x）=x3+1﹣3x2=2，令F（x）=x3﹣3x2﹣1

可得F（3）=﹣1＜0，F（4）=8＞0，即F（x）=x3﹣3x2﹣1零点在区间（3，4）内

所以f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（3，4）

故选D