Question

如图，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=

π

3

，分别以△ABD与△CBD为底面作相同的正三棱锥E-ABD与F-CBD，且∠AEB=

π

2

．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求平面的EBD与平面FBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）作EO₁⊥面ABCD于O₁，作FO₂⊥面ABCD于O₂，由已知得EO₁∥FO₂，且EO₁=FO₂=

6

3

．从而四边形EO₁O₂F是平行四边形，由此能证明EF∥平面ABCD．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面的EBD与平面FBC所成锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：作EO₁⊥面ABCD于O₁，
作FO₂⊥面ABCD于O₂，
∵E-ABD与F-CBD都是正三棱锥，
且O₁、O₂分别为△ABD与△CBD的中心，
∴EO₁∥FO₂，且EO₁=FO₂=

6

3

．…（3分）
所以四边形EO₁O₂F是平行四边形，所以O₁O₂∥EF．…（4分）
又O₁O₂?平面ABCD，EF不包含于平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD．…（6分）
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，
则B（0，-1，0），C（-

3

，0，0），D（0，1，0），
E（

3

3

，0，

6

3

），F（-

3

3

，0，

6

3

）
∴

BE

=(

3

3

，1，

6

3

)，

BC

=（-

3

，1，0），

BD

=(0，2，0)，

BF

=(-

3

3

，1，

6

3

)．…（7分）
设

n1

=（x₁，y₁，z₁）是平面BDE的法向量，
则

n1 • BE =2y1=0 n1 • BD = 3 3 x1+y1+ 6 3 z1=0

，
取x₁=

2

，得

n1

=（

2

，0，-1），…（9分）
设

n2

=（x₂，y₂，z₂）为平面BCF的法向量，
则

n2 • BC =- 3 x2+y2=0 n2 • BF =- 3 3 x2+y2+ 6 3 z2=0

，…（10分）
取x2=

3

，得

n2

=（

3

，3，-

6

），
设平面EBD与平面FBC所成锐二面角为θ，…（11分）
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

6 + 6

3 ×3 2

|=

2

3

，
∴平面的EBD与平面FBC所成锐二面角的余弦值为

2

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．