题目内容

如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点．
求证：（1）A1B∥平面AC1D；
（2）平面A1BD1∥平面AC1D．
考点：平面与平面平行的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）连结A1C交AC1于点E，连结DE，连结ED，由已知条件推导出A1B∥ED，由此能证明A1B∥平面AC1D．
（2）由已知和得BD1∥C1D，A1D1∥AD，从而BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．由此能证明平面A1BD1∥平面AC1D．
解答： （1）证明：如图，连结A1C交AC1于点E，连结DE，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连结ED，
∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D=ED，
∴A1B∥ED．
∵A1B不包含于平面AC1D，ED?平面AC1D，
∴A1B∥平面AC1D．
（2）证明：∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．
又A1D1∩BD1=D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面平行的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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一个密码有9位，由4个自然数、3个“A”以及1个“a”和1个“b”组成，其中A与A不相邻，a和b不相邻，数字可随意排列，且数字之积为6，这样的密码有（　　）个．
A、10200
B、13600
C、40800
D、81600
已知定义在区间（2，2]上的函数f（x）满足f（x+2）=
4
f(x)+2
，当x∈[0，2]，f（x）=x，若g（x）=f（x）-mx-m有两个不同零点，则实数m的取值范围是（　　）
A、0＜m≤
2
3
或-6-4
2
＜m＜0
B、0＜m≤
2
3
或m＜-6+4
2
C、0＜m≤
2
3
或m＜-6-4
2
D、0＜m≤
2
3
i是虚数单位，复数z=
2+3i
i
的虚部是（　　）
A、-2iB、iC、1D、-2
已知函数f（x）=lnx-x-1，g（x）=
1
2
x2
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）定义运算：
.
ab
dc
.
=ac-bd，其中a，b，c，d∈R
①若M（x）=
.
kf(x)
1g(x)
.
，k∈R，讨论函数M（x）的单调性；②设函数F（x）=f（x）+x+1，已知函数H（x）是F（x）的反函数，若关于x的不等式
.
mH(x+1)
H(F(x)+1)H(x+1)-1
.
＜1（m∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立，求整数m的最大值．
编写程序框图计算：12-22+32-42+…+992-1002．
已知函数f（x）=loga（3+x）-loga（3-x）（a＞1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）当x∈[
1
3
，
1
2
]时，f（x）最大值为1，求实数a的值．
如图，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=
π
3
，分别以△ABD与△CBD为底面作相同的正三棱锥E-ABD与F-CBD，且∠AEB=
π
2
．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求平面的EBD与平面FBC所成锐二面角的余弦值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，点（1，
3
4
a）在椭圆上．直线x+y-m=0与椭圆恰有一个公共点．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）已知O为坐标原点，P为椭圆上的动点，作正方形OPMN（O，P，M，N按顺时针方向排列），求动点N的轨迹方程．

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