Question

如图，P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱A₁D₁上一点，设点P和直线AC₁确定的平面为α，过点P与直线AC₁垂直的平面为β，则下列命题正确的是

 

①存在平面α，使得A₁B∥α；
②对任意平面α都有α⊥β；
③平面α将正方体分割为体积相等的两部分；
④β截正方体所得截面多边形可能是四边形．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：可取P为A₁D₁的中点，运用线面平行的判定定理，即可判断①；由面面垂直的判定定理可判断②；运用正方体的对称性即可判断③；可根据截面A₁BD和截面B₁CD₁都和直线AC₁垂直，可知β截正方体所得截面介于截面A₁BD和截面B₁CD₁之间，从而判断④．

解答： 解：①当P为A₁D₁的中点时，
取BC的中点E，连C₁E，可证PA∥C₁E，
连PE，可得A₁B∥PE，
由线面平行的判定定理可得A₁B∥α，故①正确；
②因为平面α过AC₁，且AC₁⊥β，所以α⊥β，
故②正确；
③由于平面α经过直线AC₁，
由对称性易知③正确；
④由于AC₁⊥截面A₁BD和AC₁⊥截面B₁CD₁，
β截正方体所得截面介于截面A₁BD和截面B₁CD₁之间，可以是三角形或六边形，故④错．
故答案为：①②③

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行的判断和线面垂直、面面垂直的判定，同时考查空间想象能力和判断能力．