Question

设f（x）=（k+1）x²-（2k+1）x+1，x∈R，若x∈（1，3），f（2^x-x）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：令t=2^x-x，可求1＜t＜5，原命题等价于等价于1＜t＜5时，f（t）＞0恒成立；即（k+1）t²-（2k+1）t+1＞0恒成立，再分三种情况讨论二次函数得出结论．

解答： 解：令t=2^x-x，
t′=2^xln2-1，∵x＞1，∴2^x＞2，∴2xln2-1＞2ln2-1=ln

4

e

＞ln1=0，
∴x∈（1，3）时，t′＞0，∴t=2^x-x在x∈（1，3）上递增，∴1＜t＜5，
故x∈（1，3），f（2^x-x）＞0恒成立，等价于1＜t＜5时，f（t）＞0恒成立；即（k+1）t²-（2k+1）t+1＞0恒成立，
当k+1=0时，即k=-1时，不等式变为t+1＞0，故1＜t＜5时，f（t）＞0恒成立；∴k=-1满足要求；
当k+1≠0时，令g（t）=（k+1）t²-（2k+1）t+1，对称轴为x=1-

1

2(k+1)

，
①当k+1＞0即k＞-1时，抛物线开口向上，对称轴x=1-

1

2(k+1)

＜1，故函数在（1，5）递增，只要g（1）＞0即可，
∴（k+1）-（2k+1）+1＞0，∴k＜1，
此时k的范围为-1＜k＜1；
②当k+1＜0即k＜-1时，抛物线开口向下，对称轴x=1-

1

2(k+1)

＞1，又函数恒过（0，1），如图：

只要g（5）＞0，∴（k+1）5²-5（2k+1）+1＞0，∴k＞-

7

5

此时k的范围为-

7

5

＜k＜-1；
综上，k的范围为{k|-

7

5

＜k＜1}

点评：本题主要考查函数与不等式之间的关系，综合性较强，属于较难的题目．