Question

设函数y=f（x）的定义域为R，若对于给定的正数k，定义函数f_k（x）=

k，f(x)≤k f(x)，f(x)＞k

则当函数f（x）=

1

x

，k=1时，定积分

∫

2 1 4

f_k（x）dx的值为

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：根据f_k（x）的定义求出f_k（x）的表达式，然后根据积分的运算法则即可得到结论．

解答： 解：由定义可知当k=1时，f₁（x）=

1， 1 x ≤1 1 x ， 1 x ＞1

，即f₁（x）=

1，x≥1 1 x ，0＜x＜1

，
则定积分

∫

2 1 4

f_k（x）dx=

∫

1 1 4

1

x

dx+

∫

2 1

1dx=lnx|

1 1 4

+x|

2 1

=ln1-ln

1

4

+2-1=1+2ln2，
故答案为：1+2ln2．

点评：本题主要考查积分的计算，利用函数的定义求出函数的表达式是解决本题的关键．