题目内容

设x≥1，y≥1，证明： $数学公式$ ．

证明：要证 $\text{[math]}$ ，
只需证明 $\text{[math]}$ ，
只需证明 $\text{[math]}$ =（x-1）（y-1），
只需证明1- $\text{[math]}$ ≤x-1；1- $\text{[math]}$ ≤y-1，
即证x+ $\text{[math]}$ ≥2，y+ $\text{[math]}$ ≥2，（x≥1，y≥1）这是均值不等式，
所以x≥1，y≥1， $\text{[math]}$ 得证．
分析：直接利用分析法，通过移项变形，转化为基本不等式，即可证明不等式成立．
点评：本题考查分析法证明不等式的方法，注意分析法的证明步骤，考查逻辑推理能力．

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（2010•湖北模拟）设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且

．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足

=0，试证：直线MN必过x轴上的定点．

设a,b,x,y∈R,且a²+b²=1,x²+y²=1, 试证:|ax+by|≤1.

设a,b,x,y∈R,且a²+b²=1,x²+y²=1, 试证:|ax+by|≤1.

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

又因为,………………2分

又，得证。

第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为

,所以平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

又因为,又………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且

．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足

=0，试证：直线MN必过x轴上的定点．