Question

设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且=，||=2+．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足•=0，试证：直线MN必过x轴上的定点．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B）．则 =（x-x_A，y），=（-x，y_B-y）．由=，得x_A=x+，y_B=y+．由||=2+，得到动点P的轨迹E的方程．
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x²+4y²-12=0联立，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，然后由根与系数的关系能够导出直线MN的方程，令y=0得直线MN必过x轴上的定点．
解答：解：（1）设P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B）．
则 =（x-x_A，y），=（-x，y_B-y）．
由=，
得x_A=x+，y_B=y+．
由||=2+，
得到动点P的轨迹E的方程．
3x²+4y²-12=0．
可得点P的轨迹E的方程：+=1（5分）
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x²+4y²-12=0联立
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0
设M（x₁，y₁），
则x+x₁=-，x₁=+2=
y₁=k（x+2）=
∴M（，）
设KN：y=-（x+2）（k≠0），
同理可得：N（，-）（8分）
k_MN==-  （k²≠1）（10分）
则MN：y-=-（x-）
化简可得y=-（x+）
即MN过定点（-，0），另MN斜率不存在时，也过（-，0）（13分）
∴直线M、N必过定点（-，0）．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意挖掘隐含条件，根据实际情况注意公式的灵活运用．