题目内容
（2010•湖北模拟）设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且
=
，|
|=2+
．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足
•
=0，试证：直线MN必过x轴上的定点．
| AP |
| ||
| 2 |
| PB |
| AB |
| 3 |
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足
| KM |
| KN |
分析：（1）设P（x，y），A（xA，0），B（0，yB）．则
=（x-xA，y），
=（-x，yB-y）．由
=
，得xA=x+
x，yB=y+
y．由|
|=2+
，得到动点P的轨迹E的方程．
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x2+4y2-12=0联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，然后由根与系数的关系能够导出直线MN的方程，令y=0得直线MN必过x轴上的定点．
| AP |
| PB |
| AP |
| ||
| 2 |
| PB |
| ||
| 2 |
| 2 | ||
|
| AB |
| 3 |
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x2+4y2-12=0联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，然后由根与系数的关系能够导出直线MN的方程，令y=0得直线MN必过x轴上的定点．
解答：解：（1）设P（x，y），A（xA，0），B（0，yB）．
则
=（x-xA，y），
=（-x，yB-y）．
由
=
，
得xA=x+
x，yB=y+
y．
由|
|=2+
，
得到动点P的轨迹E的方程．
3x2+4y2-12=0．
可得点P的轨迹E的方程：
+
=1（5分）
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x2+4y2-12=0联立
（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0
设M（x1，y1），
则x0+x1=-
，x1=
+2=
y1=k（x+2）=
∴M（
，
）
设KN：y=-
（x+2）（k≠0），
同理可得：N（
，-
）（8分）
kMN=
=-
（k2≠1）（10分）
则MN：y-
=-
（x-
）
化简可得y=-
（x+
）
即MN过定点（-
，0），另MN斜率不存在时，也过（-
，0）（13分）
∴直线M、N必过定点（-
，0）．
则
| AP |
| PB |
由
| AP |
| ||
| 2 |
| PB |
得xA=x+
| ||
| 2 |
| 2 | ||
|
由|
| AB |
| 3 |
得到动点P的轨迹E的方程．
3x2+4y2-12=0．
可得点P的轨迹E的方程：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x2+4y2-12=0联立
（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0
设M（x1，y1），
则x0+x1=-
| 16k2 |
| 3+4k2 |
| 16k2 |
| 3+4k2 |
| 6-8k2 |
| 3+4k2 |
y1=k（x+2）=
| 12k |
| 3+4k2 |
∴M（
| 6-8k2 |
| 3+4k2 |
| 12k |
| 3+4k2 |
设KN：y=-
| 1 |
| k |
同理可得：N（
| 6k2-8 |
| 3k2+4 |
| 12k |
| 3k2+4 |
kMN=
| yM-yN |
| xM-xN |
| 7k |
| 4(k2-1) |
则MN：y-
| 12k |
| 3+4k2 |
| 7k |
| 4(k2-1) |
| 6-8k2 |
| 3+4k2 |
化简可得y=-
| 7k |
| 4(k2-1) |
| 2 |
| 7 |
即MN过定点（-
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 7 |
∴直线M、N必过定点（-
| 2 |
| 7 |
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意挖掘隐含条件，根据实际情况注意公式的灵活运用．
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