Question

设正项等差数列{a_n}的前2011项和等于2011，则

1

a2

+

1

a2010

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,基本不等式在最值问题中的应用,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等差数列的前n项和公式及其性质、基本不等式即可得出．

解答： 解：∵正项等差数列{a_n}的前2011项和等于2011，
∴S2011=

2011(a1+a2011)

2

=

2011(a2+a2010)

2

=2011，
得到a₂+a₂₀₁₀=2．
∴

1

a2

+

1

a2010

=

1

2

(a2+a2010)(

1

a2

+

1

a2010

)=

1

2

(2+

a2010

a2

+

a2

a2010

)≥

1

2

(2+2

a2010 a2 • a2 a2010

)=2．
当且仅当a₂=a₂₀₁₀=1时取等号．
故答案为：2．

点评：本题考查了等差数列的前n项和公式及其性质、基本不等式，属于基础题．