题目内容
已知数列
的各项均是正数，其前
项和为
，满足
.
（I）求数列的通项公式；
（II）设
数列
的前项和为
，求证：
.
（Ⅰ）
. （Ⅱ）详见解析.
解析试题分析：（Ⅰ）首先令
求出首项
，
.
由
两式相减，得
即
.所以
，
数列
是首项为2，公比为
的等比数列.由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式.
（Ⅱ）证明有关数列前项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和.在本题中，由（Ⅰ）可得：
，
.这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明.
试题解析：（Ⅰ）由题设知， 2分
由两式相减，得.
所以
. 4分
可见，数列是首项为2，公比为的等比数列。
所以
6分
（Ⅱ）， 8分
. 10分
=
. 12分
考点：1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明.
练习册系列答案
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满足：
，且对于任何
，有
．
，
；
．
的前
项和
满足
；求数列
的前
.
中，
，设
．
的前三项；
；
项和为
，
．
是等比数列，首项
.
，证明数列
是等差数列并求前n项和
.
an}的前n项和为Tn．求使Tn＞bn的最小正整数n．
的前
项和为
，常数
，且
对一切正整数
，
，当
的前
的所有项均为正数，首项
且
成等差数列.
的前
项和为
若
求实数
的值.
的前
项和为
，且
,
.
满足
，求
.