Question

17．△ABC的一边长为8，周长为20，求顶点A的轨迹方程．

Answer 1

分析 由题意可得AB+AC=12＞BC=8，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b 的值，即得顶点A的轨迹方程．

解答 解：∵△ABC的一边长为8，周长为20，不妨|BC|=8，且△ABC的周长等于20，
∴AB+AC=12＞BC=8，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，
∴2a=12，a=6，c=4，
∴b²=20，故顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$（y≠0）或$\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{20}=1$（x≠0）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$（y≠0）或$\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{20}=1$（x≠0）．

点评 本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，注意轨迹方程中y≠0，这是解题的易错点．属于基础题．