Question

已知圆O：x²+y²=1，直线x-2y+5=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则

PO

•

PA

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程,平面向量数量积的运算

专题：直线与圆

分析：要使

PO

•

PA

最小，只有P与O最近，故此时OP和直线x-2y+5=0垂直，求出此时点P的坐标，可得OP、PA的值，再利用两个向量的数量积的定义求得

PO

•

PA

的最小值．

解答： 解：由题意可得，要使

PO

•

PA

最小，只有P与O最近，
故此时OP和直线x-2y+5=0垂直．
设点P（2b-5，b），则有

b-0

2b-5-0

×

1

2

=-1，求得 b=2，
∴点P（-1，2），
∴OP=

5

，切线PA=

OP2-OA2

=2，
cos∠OPA=

PA

PO

=

2

5

，
∴

PO

•

PA

=

5

×2×

2

5

=4，
故答案为：4．

点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，两个向量的数量积的定义，两条直线垂直的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．