Question

17．已知直线l₁：3x+4y-5=0，圆O：x²+y²=4．
（1）求直线l₁被圆O所截得的弦长；
（2）如果过点（-1，2）的直线l₂与l₁垂直，l₂与圆心在直线x-2y=0上的圆M相切，圆M被直线l₁分成两段圆弧，其弧长之比为2：1，则圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）先利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用垂径定理求得弦长．
（2）设出圆心M的坐标和半径，根据题意建立等式求得a，则圆心坐标可得，利用点到直线的距离求得半径，则圆的方程可得．

解答 解：（1）由题意得：圆心到直线l₁：3x+4y-5=0的距离d=$\frac{|0+0-5|}{\sqrt{9+16}}$=1，
由垂径定理得弦长为2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$；
（2）过点（-1，2）的直线l₂与l₁垂直的方程为y-2=$\frac{4}{3}$（x+1）．
设圆心M为（a，$\frac{1}{2}a$），圆心M到直线l₂的距离为r，即圆的半径，
由题意可得，圆心M到直线l₁：3x+4y-5=0的距离为1，圆半径为2，
故圆心M到直线l₁的距离为$\frac{r}{2}$，
所以有：$\frac{|4a-\frac{3}{2}a+10|}{5}=\frac{2×|3a+2a-5|}{5}=\frac{r}{2}$，
解得：a=$\frac{8}{3}$，a=0（舍去），
所以圆心为M（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），r=$\frac{10}{3}$，所以所求圆方程为：（x-$\frac{8}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{100}{9}$．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了点到直线距离公式的应用以及数形结合思想的运用．