Question

18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，且$\sqrt{3}$asinC-c（2+cosA）=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的最大边长为$\sqrt{7}$，且sinC=2sinB，求最小边长．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理可得和两角和正弦公式即可求出答案，
（2）根据（1）可以得到a是最边，由sinC=2sinB，可得c=2b，即b是最小边，根据余弦定理即可求出

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$asinC-c（2+cosA）=0，
由正弦定理可得$\sqrt{3}$sinAsinC-sinC（2+cosA）=0，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA-（2+cosA）=0，
即$\sqrt{3}$sinA-cosA=2，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$
∴A=$\frac{2}{3}$π，
（2）由（1）可知，△ABC的最大边长为为a=$\sqrt{7}$，
∵sinC=2sinB，
∴c=2b，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=b²+4b²-2b•2b•（-$\frac{1}{2}$）=7b²，
∴b=1，
∴最小边长为1．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及两角和的正弦公式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题