Question

12．已知两平行直线4x-2y+7=0，2x-y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x-2y+m=0的距离的一半．
（1）求m的值；
（2）判断直线l与圆$C：{x^2}+{（y-2）^2}=\frac{1}{5}$的位置关系．

Answer 1

分析 （1）求出两平行直线4x-2y+7=0，2x-y+1=0之间的距离，利用两平行直线4x-2y+7=0，2x-y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x-2y+m=0（m＞0）的距离的一半，建立方程，即可求m的值；
（2）求出C到直线l的距离，即可得出结论．

解答 解：（1）2x-y+1=0化为4x-2y+2=0，
则两平行直线4x-2y+7=0，2x-y+1=0之间的距离等于$\frac{|7-2|}{\sqrt{16+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴点O到直线l：x-2y+m=0（m＞0）的距离=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∵m＞0
∴m=5；
（2）圆C：x²+（y-2）²=$\frac{1}{5}$的圆心C（0，2），半径r=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵C到直线l的距离d=$\frac{|-4+5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴l与圆C相切．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查两条平行线间的距离，点到直线的距离公式，属于中档题．