Question

5．有以下判断：
①$f（x）=\frac{|x|}{x}$与g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$表示同一函数；
②“x=2”是“x²＞4”的必要而不充分条件；
③若f（x）=|x|-|x-1|，则$f[f（\frac{1}{2}）]$=0；
④若x²-2x=0，则x=2的逆命题是真命题
其中正确的序号为④．

Answer 1

分析 由函数定义域不同判断①；求出不等式x²＞4的解集，结合充分必要条件的判定方法判断②；直接求出函数值判断③；写出命题的逆命题判断④．

解答 解：①$f（x）=\frac{|x|}{x}$的定义域为{x|x≠0}，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$的定义域为R，定义域不同，不是同一函数，故①错误；
②由x²＞4，得x＜-2或x＞2，∴“x=2”是“x²＞4”的既不充分也不必要条件，故②错误；
③若f（x）=|x|-|x-1|，则f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{1}{2}$|-|$\frac{1}{2}-1$|=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，∴$f[f（\frac{1}{2}）]$=f（0）=-1，故③错误；
④若x²-2x=0，则x=2的逆命题是若x=2，则x²-2x=0，是真命题，故④正确．
∴正确命题的序号是④．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数值的求法，考查了充分必要条件的判定方法，是基础题．