Question

7．设f（x）=x+$\frac{a}{x+1}$，x∈[0，+∞）．
（1）当a=4时，求f（x）的最小值；
（2）当a∈（0，1）时，判断f（x）的单调性，并求出f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式得出f（x）的最小值；
（2）根据x和a的范围判断f′（x）的符号，得出f（x）的单调性，根据单调性得出最小值．

解答 解：（1）a=4时，f（x）=x+$\frac{4}{x+1}$=x+1+$\frac{4}{x+1}$-1≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$-1=3．
当且仅当x+1=$\frac{4}{x+1}$即x=1时取等号．
∴f（x）的最小值为f（1）=3．
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-a}{（x+1）^{2}}$，
∵x∈[0，+∞），a∈（0，1），
∴（x+1）²-a＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f_min（x）=f（0）=a．

点评 本题考查了函数的最值计算，导数与函数单调性的关系，属于中档题．