Question

2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x-sinx，若不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）
• C． （-∞，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性将不等式恒成立进行转化，结合一元二次不等式恒成立的性质进行求解即可．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x-sinx，
∴f（0）=0，且f′（x）=1-cosx≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∵f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（-∞，0]上也是增函数，
即函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
则不等式f（-4t）＞f（2m+mt²）等价为-4t＞2m+mt²对任意实数t恒成立
即mt²+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，
若m=0，则不等式等价为4t＜0，即t＜0，不满足条件．，
若m≠0，则要使mt²+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=16-8{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{m}^{2}＞2}\end{array}\right.$，得m＜-$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化是解决本题的关键．