Question

13．如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．
（I）设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；
（II）求梯形部件ABCD面积y的最大值．

Answer 1

分析 如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE⊥AB，
（I）由CD的长表示出OE的长，利用勾股定理表示出CE的长，利用梯形面积公式表示出y与x的函数关系式，并求出x的范围即可；
（II）把表示出y与x的关系式变形，令被开方数等于t，求出导函数t′，根据导函数的正负确定出函数的增减性，进而求出y的最大值即可．

解答 解：如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE⊥AB，
（I）∵CD=2x，
∴OE=x（0＜x＜1），CE=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（|AB|+|CD|）•CE=$\frac{1}{2}$（2+2x）$\sqrt{1-{x}^{2}}$=（x+1）$\sqrt{1-{x}^{2}}$（0＜x＜1）；

（II）y=$\sqrt{（x+1）^{2}（1-{x}^{2}）}$=$\sqrt{-{x}^{4}-2{x}^{3}+2x+1}$，
令t=-x⁴-2x³+2x+1，
则t′=-4x³-6x²+2=-2（2x³+3x²-1）=-2（x+1）²（2x-1），
令t'=0，得到x=$\frac{1}{2}$或x=-1（舍），
∴当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，t'＞0，
∴函数在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，t'＜0，
∴函数在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，
当x=$\frac{1}{2}$时，t有最大值$\frac{27}{16}$，y_max=$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
答：梯形部件y'=0面积的最大值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$平方米．

点评 此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握导数在函数增减性中的应用是解本题的关键．