Question

【题目】在平面直角坐标系中，动圆与圆外切，与圆内切．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）直线过点且与动圆圆心的轨迹交于、两点．是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，面积的最大值为，理由见解析.

【解析】

（1）设动圆的半径为，利用几何关系转化两圆内切和外切的问题，可得出，可得知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，并设该椭圆的方程为，利用椭圆的定义求出的值，可求出的值，由此可得出动点的轨迹方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，并计算出的面积关于的表达式，换元，利用双勾函数的单调性可得出面积的最大值.

（1）设点，动圆的半径为，

由题意知，，，

由椭圆定义可知，动圆圆心在以、为焦点的椭圆上，

设该椭圆的方程为，且，，.

由于圆内切于圆于点，则.

因此，动圆圆心的轨迹方程为；

（2）存在面积的最大值.

因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．

则，整理得 ．

由．

设点、，则，.

则，

因为．

设，则，则.

设在区间上为增函数，所以．

所以，当且仅当时取等号，即．

因此，面积的最大值为．