Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）设函数，若存在，使，证明：.

Answer 1

【答案】（1）函数的极小值为，无极大值（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；

（2）求出a，问题转化为证明lnx1+lnx2＜2（1），即ln2，不妨设x1＞x2，t1，即证lnt2，根据函数的单调性证明即可．

（1）的定义域为，

，

令，

所以，

当时，；

当时，.

所以在上单调递减，

在上单调递增.

所以.

所以函数的极小值为，无极大值.

（2），

当时，由于，所以，，即，

当时，由于，所以，，即，

当时，，

综上，，故在单调递增，

故只须证明，

即证，

由，可知，

故，

即证，

，

，

也就是，

，

，

.

不妨设，，

即证，

，

即证，

设，

，

故在单调递增.

因而，

即，

因此结论成立.