Question

已知椭圆E：

x2

a2+1

+

y2

a2

=1（a＞0）的离心率为

1

2

，过点（a²+1，0）且斜率为k（k≠0）的动直线l与椭圆相交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，点P关于x轴的对称点为P′，线段PQ的中点为M（x₀，y₀）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：直线P′Q过x轴上一定点，并求该定点的坐标；
（Ⅲ）若点M落在椭圆3x²+y²=3的上顶点和左右顶点组成的三角形内部（不包括边界），求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出c，利用椭圆E：

x2

a2+1

+

y2

a2

=1（a＞0）的离心率为

1

2

，求实数a的值；
（Ⅱ）y=k（x-4）代入椭圆方程，利用韦达定理，确定直线P′Q的方程，即可得出直线P′Q过x轴上一定点；（Ⅲ）确定M（

16k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

），M在y轴右侧，直线BD₂的方程，利用点M落在椭圆3x²+y²=3的上顶点和左右顶点组成的三角形内部（不包括边界），建立不等式，即可求实数k的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：由题意，c=1，
∴

1

a2+1

=

1

2

，
∴a=

3

；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．P′（x₁，-y₁），
∴直线P′Q为y-（-y₁）=

y2-(-y1)

x2-x1

（x-x₁），
y=k（x-4）代入椭圆方程可得（3+4k²）x-32k²x+64k²-12=0，
∴x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

，
令y=0，则x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=1，
∴直线P′Q过x轴上一定点（1，0）；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，M（

16k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

），
△=（-32k²）²-4×（3+4k²）×（64k²-12）＞0，∴-

1

2

＜k＜

1

2

，
椭圆3x²+y²=3的上顶点为B（0，

3

），和左右顶点分别为D₁（-1，0），D₂（1，0）
直线BD₂的方程为x+

y

3

=1，
∵

16k2

3+4k2

＞0，∴M在y轴右侧，
∵点M落在椭圆3x²+y²=3的上顶点和左右顶点组成的三角形内部（不包括边界），
∴

12k

3+4k2

＞0且

16k2

3+4k2

+

1

3

×

12k

3+4k2

＜1，
∴-

3

6

＜k＜0，
∵-

1

2

＜k＜

1

2

，
∴-

3

6

＜k＜0．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，有难度．