Question

17．双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，过焦点且垂直于y轴的弦长为6，
（1）求双曲线方程；
（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线交曲线与MN，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，过焦点且垂直于y轴的弦长为6，建立方程，即可求双曲线方程；
（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线交曲线与MN，联立方程，即可求MN的长．

解答 解：（1）由题意，$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=6，
∴$a=1，b=\sqrt{3}$，
∴双曲线方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线方程为y=x-2，
代入双曲线方程可得2x²-12x+9=0
∴|MN|=$\sqrt{2}•\sqrt{36-4×\frac{9}{2}}$=6．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．