Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－acos C＝0.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，S_△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

解：(1)法一：由(2b－c)cos A－acos C＝0及正弦定理，得

(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，

∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，

sin B(2cos A－1)＝0.

∵0<B<π，∴sin B≠0，∴cos A＝.

∵0<A<π，∴A＝.

法二：由(2b－c)cos A－acos C＝0，

及余弦定理，得(2b－c)·＝0，整理，得b²＋c²－a²＝bc，

∴cos A＝＝，

∵0<A<π，∴A＝.

(2)△ABC为等边三角形．

∵S_△ABC＝bcsin A＝，

即bcsin＝，

∴bc＝3，①

∵a²＝b²＋c²－2bccos A，a＝，A＝，

∴b²＋c²＝6，②

由①②得b＝c＝，

∴△ABC为等边三角形．