Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆与直线相切于点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线： 与椭圆相交于、两点（， 不是长轴端点），且以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）利用点在椭圆上及相切关系布列方程组，即可解得椭圆的标准方程；

（2）联立方程易得： ， ，以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点，∴，即或，经检验得到结果.

试题解析：

法一（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为（， 且）

∵在椭圆上，∴ ①

由得

∵椭圆与直线相切，∴，

即②

由①②知，

故所求椭圆方程为

法二：设椭圆为（， 且）则它在点处的切线为，它与表示同一直线，∴， ，∴，

故所求椭圆方程为.

(Ⅱ)设， ，联立

得

得

，

，

因为以为直径的圆过椭圆的上顶点

∴即

∴

即

即

即

∴或

当时，直线过定点与已知矛盾

当时，直线过定点满足

所以，直线过定点，定点坐标为