Question

对于区间[a，b]（或（a，b）、[a，b）、（a，b]），我们定义|b-a|为该区间的长度，特别地，[a，+∞）和（-∞，b]的区间长度为正无穷大．
（1）关于x的不等式ax²+（2a-1）x-2≤0的解集的区间长度不小于4，求实数a的取值范围；
（2）关于x的不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0恰好有3个整数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）分类讨论，利用关于x的不等式ax²+（2a-1）x-2≤0的解集的区间长度不小于4，即可求实数a的取值范围；
（2）不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0为（x-6）（x+4）（x-m）（x-m-6）＜0，根据关于x的不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0恰好有3个整数解，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）a=0时，解集为[-2，+∞）符合要求；
a＞0时，解集为[-2，

1

a

]，则需

1

a

-（-2）≥4，∴0＜a≤

1

2

；
a＜0时，令

1

a

=-2，∴a=-

1

2

，
∴实数a的取值范围是（-∞，

1

2

]；
（2）不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0为（x-6）（x+4）（x-m）（x-m-6）＜0，
∵关于x的不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0恰好有3个整数解，
∴m=-4或m=0，或-3＜m＜-2，或-2＜m＜-1．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解法及其新定义是解题的关键．