题目内容
已知F1，F2是椭圆
+
=1的两个焦点，P是椭圆上任一点
（1）若∠F1PF2=
，求△F1PF2的面积；
（2）求|PF1|•|PF2|的最大值．
| x2 |
| 100 |
| y2 |
| 64 |
（1）若∠F1PF2=
| π |
| 3 |
（2）求|PF1|•|PF2|的最大值．
考点：椭圆的简单性质
专题：综合题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，利用余弦定理可求得mn=
的值，最后利用三角形面积公式求解即可得出结论．
（2）利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值20，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值即可．
| 256 |
| 3 |
（2）利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值20，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值即可．
解答：
解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，则
根据椭圆的定义可得m+n=20．
在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，
所以根据余弦定理可得：m2+n2-2mn•cos60°=144
从而（m+n）2-3mn=144，
所以mn=
，
所以S△F1PF2=
mnsin60°=
…（6分）
（2）根据椭圆的定义可得m+n=20，
所以mn≤(
)2=100，当且仅当m=n时等号成立…（10分）
故|PF1|•|PF2|的最大值为100…（12分）
根据椭圆的定义可得m+n=20．
在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，
所以根据余弦定理可得：m2+n2-2mn•cos60°=144
从而（m+n）2-3mn=144，
所以mn=
| 256 |
| 3 |
所以S△F1PF2=
| 1 |
| 2 |
64
| ||
| 3 |
（2）根据椭圆的定义可得m+n=20，
所以mn≤(
| m+n |
| 2 |
故|PF1|•|PF2|的最大值为100…（12分）
点评：本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．
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