Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求异面直线EG与BD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB的中点M，连接EM，MG．利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理可得MG∥EF．即四点E，F，G，M共面．而在三角形PAB中，再利用三角形的中位线定理可得PB∥EM，利用线面平行的判定定理可得PB∥平面EFGM．
（2）通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出异面直线的夹角．

解答： （1）证明：取AB的中点M，连接EM，MG．
∵MG∥AD，AD∥EF，∴MG∥EF．
∴四点E，F，G，M共面．
而在三角形PAB中，PB∥EM，
又PB?平面EFGM，EM?平面EFGM．
∴PB∥平面EFGM．
即得PB∥平面EFG．
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．
则B（2，0，0），D（0，2，0），G（1，2，0），E（0，0，1）．
∴

BD

=（-2，2，0），

EG

=（1，2，-1）．
∴cos＜

BD

，

EG

＞=

BD • EG

| BD | | EG |

=

-2+4

8 × 6

=

3

6

．
∴异面直线EG与BD所成角的余弦值为

3

6

．

点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、向量的夹角公式、异面直线的夹角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．