Question

在数列{a_n}中，a₁=2，点P（a_n，a_n+1）在函数y=2x+1的图象上． 
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）将a_n+1=2a_n+1两边加1，可得a_n+1+1=2（a_n+1），应用等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）令C_n=a_n+1，由等比数列的通项，得到Cn的通项，从而得到an；
（3）应用分组求和、错位相减法，首先将3n•2^n-1-n分成{3n•2^n-1}、{-n}两组求和，运用错位相减法，求出第一组的和，再由等差数列的求和公式求出第二组的和，再相加即可．

解答： （1）证明：∵点P（a_n，a_n+1）在函数y=2x+1的图象上，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：令C_n=a_n+1，
∴C₁=a₁+1=3
∵{C_n}是等比数列，
∴C_n=3•2^n-1
即a_n+1=3•2^n-1
∴a_n=3•2^n-1-1；
（3）解：b_n=na_n=3n•2^n-1-n
令d_n=3n•2^n-1
令S₁=3×1+6×2+9×4+…+3（n-1）2^n-2+3n•2^n-1
2S₁=3×2+6×4+9×8+…+3（n-2）•2^n-2+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ
∴S₁=3n•2ⁿ-（3+6+12+…+3•2^n-2+3•2^n-1）
=3n•2ⁿ-

3(1-2n)

1-2

=3（n-1）•2ⁿ+3，
∴S_n=S₁-

n(n+1)

2

=3（n-1）•2ⁿ-

n(n+1)

2

+3．

点评：本题考查数列的通项和求和，主要考查等比数列的通项公式及应用，和分组求和、错位相减法求和，属于中档题．