Question

已知点P（6，4）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0
（1）当直线l过点P且与圆C相切，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|=3

2

，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）分两种情况考虑：当直线l斜率存在与不存在时，利用圆心到直线的距离，建立方程，分别求出直线l的方程即可；
（2）当|AB|=3

2

时，圆心到直线的距离为

9-( 3 2 2 )2

=

3 2

2

，利用圆心到直线的距离，建立方程，可得结论．

解答： 解：（1）x²+y²-6x+4y+4=0化为标准方程得：（x-3）²+（y+2）²=9，
当直线l斜率不存在时，直线x=6满足题意；
当直线l斜率存在时，设直线l方程为y-4=k（x-6），即kx-y-6k+4=0，
∵直线l与圆C相切，
∴圆心C（3，2）到直线l的距离d=r，即

|3k-2-6k+4|

k2+1

=3，
解得：k=-

5

12

，
此时直线l方程为5x+12y-78=0，
综上，直线l方程为x=6或5x+12y-78=0；
（2）当|AB|=3

2

时，圆心到直线的距离为

9-( 3 2 2 )2

=

3 2

2

，
设直线l方程为y-4=k（x-6），即kx-y-6k+4=0，则

|3k-2-6k+4|

k2+1

=

3 2

2

，
∴9k²-24k-1=0，
∴k=

4± 17

3

，
∴直线AB的方程为y-4=

4± 17

3

（x-6）．

点评：本题考查了圆的切线方程，以及圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．