Question

13．设函数f（x）=$|{x+\frac{16}{m}}|+|{x-m}$|．
（1）证明：f（x）≥8；
（2）当m＞0，且f（1）＞17时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式、基本不等式，证得f（x）≥8成立；
（2）利用绝对值三角不等式可得f（1）≥$\frac{16}{m}$+m，再根据$\frac{16}{m}$+m＞17，解一元二次不等式，求得实数m的取值范围，综合可得结论．

解答 解：（1）证明：∵函数f（x）=$|{x+\frac{16}{m}}|+|{x-m}$|
≥|x+$\frac{16}{m}$-（x-m）|=|$\frac{16}{m}$+m|=|$\frac{16}{m}$|+|m|≥2$\sqrt{16}$=8，
∴f（x）≥8成立．
（2）∵m＞0，且f（1）=|1+$\frac{16}{m}$|+|1-m|≥|1+$\frac{16}{m}$-（1-m）|=|$\frac{16}{m}$+m|=$\frac{16}{m}$+m＞17，
∴m²-17m+16＞0，即（m-16）•（m-1）＞0，由此求得m＞16，或 m＜1，
故实数m的取值范围为{m|m＞16，或 0＜m＜1}．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．