Question

2．对于函数f（x）给出定义：设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若函数f″（x）有零点x₀，则称（x₀，f（x₀））为函数f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，给定函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-$\frac{1}{3}$x+2，请你根据上面探究结果，计算$\sum_{i1}^{4035}$f（$\frac{i}{2017}$）=4035．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（1，1），可知f（x）+f（2-x）=2，由此能够求出所给的式子的值．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-$\frac{1}{3}$x+2，
∴f′（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$
∴f″′（x）=2x-2，由f′′（x）=2x-2=0，得x=1
∵f（1）=$\frac{1}{3}$-1-$\frac{1}{3}$+2=1
∴f（x）的对称中心为（1，1），
∴f（2-x）+f（x）=2，
∴f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{4035}{2017}$）=f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{4034}{2017}$）+…+（$\frac{2017}{2017}$）+f（$\frac{2019}{2017}$）=2f（$\frac{2018}{2017}$）=2，
∴$\sum_{i1}^{4035}$f（$\frac{i}{2017}$）=2×2017+1=4035，
故答案为：4035．

点评 本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．