Question

9．如图所示，游乐场中摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要6min，其中心距离地面40.5m，摩天轮的半径为40m，已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（wt+φ）+h（A＞0，w＞0，-π＜φ＜0，t≥0）．
（1）求f（t）的单调区间；
（2）求证：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的图象和性质，求得f（t）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（t）的单调区间．
（2）利用诱导公式、两角和差的三角公式化简 f（t）+f（t+2）+f（t+4），可得结论．

解答 解：（1）由题意可得A=40，$\frac{2π}{ω}$=6，∴ω=$\frac{π}{3}$，φ=-$\frac{π}{2}$，h=40.5，
故f（t）=40sin（$\frac{π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+40.5=40.5-40cos$\frac{π}{3}$t，
令2kπ≤$\frac{π}{3}$t≤2kπ+π，求得6k≤t≤6k+3，可得函数的增区间为[6k，6k+3]，k∈Z；
令2kπ+π≤$\frac{π}{3}$t≤2kπ+2π，求得6k+3≤t≤6k+6，可得函数的减区间为[6k+3，6k+6]，k∈Z．
（2）证明：∵f（t）=40.5-40cos$\frac{π}{3}$t，
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5-40[cos$\frac{π}{3}$t+cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{2π}{3}$）+cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{4π}{3}$）]．
又 cos$\frac{π}{3}$t+cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{2π}{3}$）-cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$t-cos（$\frac{π}{3}$t-$\frac{π}{3}$）-cos（$\frac{π}{3}$t+$\frac{π}{3}$）
=cos$\frac{π}{3}$t-cos$\frac{π}{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}$t=0，
∴f（t）+f（t+2）+f（t+4）=121.5-40×0=121.5，显然为定值，
故要证得结论成立．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，余弦函数的单调性，诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．