Question

16．抛物线y=x²-4x+3交x轴与M、N点（M在N左边），交y轴于点D，E在第一象限抛物线上，∠EMN=2∠ODM，求E点．

Answer 1

分析 根据条件求出M，N，D的坐标，结合三角函数的倍角公式求出直线ME的方程，联立方程组即可求出E的坐标．

解答 解：∵y=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∴M（1，0），N（3，0，
当x=0时，y=3，即D（0，3），
则tan∠ODM=$\frac{OM}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
设ME的斜率k=tan∠EMN，
∵∠EMN=2∠ODM，
∴tan∠EMN=tan（2∠ODM）=$\frac{2tan∠ODM}{1-ta{n}^{2}∠ODM}$=$\frac{2×\frac{1}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$=$\frac{3}{4}$，
ME的方程：y=$\frac{3}{4}$（x-1），
由$\frac{3}{4}$（x-1）=（x-1）（x-3），
得（x-1）（x-$\frac{15}{4}$）=0，
得x=$\frac{15}{4}$或 x=1（舍），
此时y=（$\frac{15}{4}$-1）×$\frac{3}{4}$=$\frac{11}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{33}{16}$，即E（$\frac{15}{4}$，$\frac{33}{16}$）．

点评 本题主要考查抛物线的方程和应用，根据条件求出坐标，结合三角函数的倍角公式是解决本题的关键．