Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=3，AB=

6

，E，F分别是AB和A₁D的中点，求二面角A₁-EC-D大小的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以D₁为原点，建立空间直角坐标系D₁-xyz，利用向量法能求出二面角A₁-EC-D的正切值．

解答： 解：以D₁为原点，建立空间直角坐标系D₁-xyz，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=3，
AB=

6

，E，F分别是AB和A₁D的中点，
∴A₁（3，0，0），E（3，

6

2

，3）C(0，

6

，3)，

A1E

=（0，

6

2

，3），

A1C

=（-3，

6

，3），
设平面A₁EC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

A1E • n = 6 2 y+3z=0 A1C • n =-3x+ 6 y+3z=0

，
取y=

6

，得

n

=（1，

6

，-1），
又平面ECD的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角A₁-EC-D的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

-1

8

|=

2

4

，
sinθ=

1- 1 8

=

14

4

∴tanθ=

7

，
∴二面角A₁-EC-D的正切值为

7

．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．