Question

定义在R上的函数f（x）满足以下两个条件：
①对任意的x，y∈R，f（x-y+1）=f x）f（y）+f（1-x）f（1-y）；
②f（x）在区间[0，1]上单调递增；
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）是图象关于直线x=1对称的奇函数；
（3）求不等式的解集f（x）≥

1

2

的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，再令x=0，y=

1

2

，讨论f（

1

2

）是否为0，即可求出f（0），f（1）；
（2）用y代替1-y，再令y=-x，即可得到f（x+1）=f（1-x），再代入f（0）=f（x）f（1+x）+f（1-x）f（-x，即可得证；
（3）令x=y=

1

3

，再由（2）即可得到f（x+4）=f（x），f（x）为周期为4的函数，由f（

1

3

）=

1

2

，即可解出不等式f（x）≥

1

2

．

解答： 解：（1）令x=y=0则f（1）=f²（0）+f²（1）①
再令x=0，y=

1

2

可得f(

1

2

)=f(0)f(

1

2

)+f(1)f(

1

2

)
若f(

1

2

)=0则f(1)=f2(

1

2

)+f2(

1

2

)=0这与f （x）在区间[0，1]上单调递增矛盾，
∴f(

1

2

)≠0故1=f(0)+f(1)②
由①、②解得

f(0)=0 f(1)=1

或

f(0)= 1 2 f(1)= 1 2

(舍)，
综上可知

f(0)=0 f(1)=1

；
（2）用y代替1-y得f（x+y）=f（x）f（1-y）+f（1-x）f（y）③
在③式中令y=-x可得f（0）=f（x）f（1+x）+f（1-x）f（-x）④
由③式可知f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）
=f（x）•0+f（1-x）•1=f（1-x）
即f（x+1）=f（1-x），所以f（x）的图象关于直线x=1对称，
将上式代入④得0=f（x）f（1+x）+f（1+x）f（-x）
又因为f（x+1）不恒为0∴f（x）+f（-x）=0恒成立，故f（x）为奇函数，得证．
（3）在③中令

x=y= 1 3 得f( 2 3 )=f( 1 3 )f( 2 3 )+f( 2 3 )f( 1 3 ) ∴f( 2 3 )=2f( 1 3 )f( 2 3 ) ∴f( 1 3 )= 1 2 或f( 2 3 )=0(舍)

另一方面，由f（x）为奇函数及f（x+1）=f（1-x）
可知f（x+1）=-f（x-1）∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x）

∴f(x)是T=4的周期函数 ∴由f(x)≥ 1 2 =f( 1 3 ) 可得4k+ 1 3 ≤x≤4k+ 5 3 ，k∈Z

即解集为{x|4k+

1

3

≤x≤4k+

5

3

，k∈Z}．

点评：本题主要考查函数的性质和运用，考查函数的单调性、周期性和奇偶性及运用，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，是一道综合题．