Question

下列命题：
（1）函数y=tan

x

2

的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；
（2）函数f（x）=sin（2x+ϕ）为偶函数，则ϕ=kπ+

π

2

，k∈Z；
（3）若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；
（4）若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（

π

4

，

π

2

），则f（sinθ）＞f（cosθ）；
（5）y=sin（|x|+2）的图象是把y=sin|x|的图象向左平移2个单位而得到的．
其中错误的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,推理和证明

分析：①正切函数的对称中心是函数图象与x轴的交点或其渐近线与x轴的交点；
②根据偶函数的定义或性质判断；
③结合诱导公式及正弦函数的单调性判断；
④根据偶函数的性质及单调性的定义判断；
⑤函数图象沿x轴的变换看x的变化，据此进行判断．

解答： （1）因为y=tanx的对称中心为（

kπ

2

，0），所以令

x

2

=

kπ

2

得x=kπ，所以函数y=tan

x

2

的对称中心为（kπ，0），k∈Z，故①为真命题；
（2）若f（x）=sin（2x+ϕ）为偶函数，则f（0）=±1，所以Φ=kπ+

π

2

，k∈Z，故②正确；
（3）若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则sin（

π

2

-α）＞sinβ，即

π

2

-α＞β，所以α+β＜

π

2

，故③正确；
（4）∵θ∈（

π

4

，

π

2

），∴sinθ＞cosθ＞0，而f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，∴f（x）在（0，1]上是减函数，∴f（sinθ）＜f（cosθ），故④为假命题；
（5）把y=sin|x|的图象向左平移2个单位得到的是y=sin|x+2|的图象，y=sin（|x|+2）的图象；故⑤错误．
所以答案为（4）、（5）．

点评：本题重点考查了三角函数的图象和性质有关的知识，要熟记常见的函数在图象对称、平移等方面的一些常见结论是解题的关键．